강의노트 일반적인 회로망의 복소 전력

다음과 같은 일반적인 2단자 회로망이 있다고 할때, 이 회로가 수동 소자로만 구성되어 있다고 한다면 하나의 임피던스 요소 혹은 어드미턴스 요소로 나타낼 수 있습니다. 이때 각각의 경우 복소 전력이 어떻게 표현되는 지 알아봅니다.

임피던스로 표현된 회로의 복소 전력

2단자망이 부하로만 이루어져 있다고 하면 다음과 같이 임피던스로 등가화 할 수 있습니다. 식에서 $R$은 저항이고, $X$는 리액턴스입니다.

$$\tag{1} \mathbf{Z} = R+ jX$$

그러면 2단자 회로망의 단자 전압과 전류는 다음 관계를 가집니다.

$$\tag{2} \mathbf{V} = \mathbf{Z} \mathbf{I}$$

2단자 회로망에서 소모되는 복소 전력은 다음과 같습니다.

$$\tag{3} \begin{align*} \mathbf{S} &= \mathbf{V} \mathbf{I}^* = \mathbf{Z} \mathbf{I} \mathbf{I}^* \\[1ex] &= \mathbf{Z} | \mathbf{I} |^{2} \\[1ex] &= (R+ j X)| \mathbf{I} |^{2} \end{align*}$$

즉, 다음과 같은 관계를 얻을 수 있습니다.

$$\tag{4} \mathbf{S} = (R+ j X)| \mathbf{I} |^{2}$$

복소 전력은 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{5} \mathbf{S} = P + j Q$$

식$(5)$를 식$(4)$에 적용하면 유효 전력과 무효 전력은 각각 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{6} P = R | \mathbf{I} |^{2} \; , \quad Q = X | \mathbf{I} |^{2}$$

따라서 임피던스로 표시된 2단자 회로망의 복소 전력과 유효 전력 및 무효 전력의 중요한 특성을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

$$\color{red} X > 0 \, \mathsf{\small 이면 \; 무효 \, 전력을 \; 소모 }\\[1ex] X < 0 \, \mathsf{\small이면 \; 무효\,전력을 \; 발생}$$

어드미턴스로 표현된 회로의 복소 전력

또한 부하로만으로 이루어진 2단자망은 다음과 같이 어드미턴스로 등가화 할 수 있습니다. 식에서 $G$는 컨덕턴스이고, $B$는 서셉턴스입니다.

$$\tag{7} \mathbf{Y} = G+ jB$$

그러면 2단자 회로망의 단자 전압과 전류는 다음 관계를 가집니다.

$$\tag{8} \mathbf{I} = \mathbf{Y} \mathbf{V}$$

2단자 회로망에서 소모되는 복소 전력은 다음과 같습니다.

$$\tag{9} \begin{align*} \mathbf{S} &= \mathbf{V} \mathbf{I}^* = \mathbf{V} \left( \mathbf{Y} \mathbf{V} \right) ^* \\[1ex] &= \mathbf{Y}^* | \mathbf{V} |^{2} \\[1ex] &= (G - j B)| \mathbf{V} |^{2} \end{align*}$$

즉, 다음과 같은 관계를 얻을 수 있습니다.

$$\tag{10} \mathbf{S} = (G - j B)| \mathbf{V} |^{2}$$

복소 전력은 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{11} \mathbf{S} = P + j Q$$

식$(11)$을 식$(10)$에 적용하면 유효 전력과 무효 전력은 각각 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{12} P = G | \mathbf{V} |^{2} \; , \quad Q = -B | \mathbf{V} |^{2}$$

따라서 어드미턴스로 표시된 2단자 회로망의 복소 전력과 유효 전력 및 무효 전력의 중요한 특성을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

$$\color{red} B < 0 \, \mathsf{\small 이면 \; 무효 \, 전력을 \; 소모 }\\[1ex] B > 0 \, \mathsf{\small이면 \; 무효\,전력을 \; 발생}$$