강의노트 단위값으로 표현된 단상 이상 변압기 모델

변압기를 포함하는 계통의 경우 기준값 선정 방법

변압기를 포함하는 계통의 단위법 해석을 위해서는 변압기 양단의 기준값을 다르게 잡음으로써 유리한 결과를 가져올 수 있습니다. 다음과 같은 방법을 추천합니다.

• 변압기 1차측 및 2차측의 전압 기준값의 비를 변압기의 전압비와 같게 한다
• 혹은, 1차와 2차측(open-circuit)전압 정격비로 할 수 도 있다.
• 전력 기준값 $S_{B}$는 양쪽 모두 같게 한다.

단위값으로 나타낸 이상 변압기

아래의 그림은 단상 이상 변압기의 모델을 나타낸 것입니다. 아래의 모델에서 각 전압과 전류를 단위값으로 변환하는 예를 살펴보겠습니다.

단상 이상 변압기의 1차측과 2차측의 관계

단상 이상 변압기의 1차측 전압과 2차측 전압은 다음 관계를 만족합니다. 식에서 아래첨자 $1$은 1차측을 나타내고, 아래첨자 $2$는 2차측을 의미합니다.

$$\tag{1} \mathbf{V}_ 2 = n\,\mathbf{V}_ 1$$

단상 이상 변압기의 1차측 전압과 2차측 전류는 다음 관계를 만족합니다.

$$\tag{2} \mathbf{I}_2 = \frac{\mathbf{I}_1}{n}$$

단상 변압기에서의 1차측과 2차측의 기준값 선정

1차측 기준값을 먼저 선정한다.

단상 변압기에서 1차측 기준값을 다음과 같이 잡는다고 가정합니다. 이때 전압 기준값과 전력 기준값을 먼저 선정한 다음 이로부터 전류 기준값과 임피던스 기준값을 계산합니다.

$$\tag{3} V_{1B} \;,\; S_{B} \;,\; I_{1B} \;,\; Z_{1B}$$

2차 기준값을 실제의 전압 전류 관계를 이용하여 1차 기준값으로부터 선정한다.

앞에서 정한 1차 기준값들로 부터 앞의 실제값들이 가지는 관계 $(1)$과 $(2)$를 이용하여 이에 상응하는 2차측 기준값을 선정합니다. 이때 2차측의 전력 기준값은 1차측 전력 기준값 $S_{B}$과 동일하게 잡습니다.

$$\tag{4} \boxed{\begin{align*}V_{2B} &= n V_{1B}\\[2ex] I_{2B} &=\dfrac{1}{n}I_{1B} \\[3ex] Z_{2B} &= n^{2}Z_{1B} \end{align*} }$$

단상 변압기의 1차측과 2차측 단위값 계산

위의 식$(1)$과 식$(4)$를 이용하면, 다음 식과 같이 단위값으로 나타낸 2차측 전압은 1차측 전압과 동일하게 된다는 것을 알 수 있습니다.

$$\tag{5} {\color{red}\mathbf{V}_ {2\mathrm{pu}}}=\dfrac{\mathbf{V}_ {2}}{V_{2B}}=\dfrac{n \mathbf{V}_ {1}}{n V_{1B}}= {\color{red} \mathbf{V}_ {1\mathrm{pu}}}$$

따라서 위의 방법으로 기준값을 선정하면 기준값 사이의 관계가 실제값과의 관계와 동일한 방법으로 선정하였기 때문에 단위값은 다음과 같이 1차측은 1차측 기준값으로 정규화되고, 2차측은 2차측 기준값으로 정규화 된 결과를 가져옵니다. 식$(5)$에서 알 수 있듯이 1차측 전압과 2차측 전압은 단위값으로 나타내었을 때 수치적으로 동일한 값이 됩니다.

이제 식$(2)$와 식$(4)$를 이용하여 다음과 같이 단위값으로 나타낸 1차측 전류와 2차측 전류의 관계를 유도하여 보면 또한 동일한 값을 가지는 것을 알 수 있습니다.

$$\tag{6} {\color{red}\mathbf{I}_ {2\mathrm{pu}}} =\dfrac{\mathbf{I}_ {2}}{I_{2B}}=\dfrac{(1/n)\mathbf{I}_ {1}}{(1/n)I_{1B}}= {\color{red} \mathbf{I}_ {1\mathrm{pu}}}$$

식$(6)$으로부터 전류도 단위값으로 나타내었을 때 1차측과 2차측이 수치적으로 동일한 값을 가진다는 것을 알 수 있습니다.

단위값으로 나타낸 이상 변압기

이제 단위값을 적용한 경우 변압기의 모델에 어떠한 변화를 가져오는지 살펴봅니다. 아래 그림은 각 전압과 전류를 단위값으로 나타내었을 때의 단상 이상 변압기의 모델을 나타냅니다. 식$(5)$와 식$(6)$으로 부터 1차측 전압과 전류는 2차측 값과 수치적으로 완전히 동일하므로 단락 회로로 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{7} \boxed{ \begin{align*} \mathbf{V}_ {2\mathrm{pu}} & = \mathbf{V}_ {1\mathrm{pu}} \\ \mathbf{I}_ {2\mathrm{pu}} &= \mathbf{I}_ {1\mathrm{pu}} \end{align*} }$$

재미 있는 사실은 모델에서 변압기가 사라졌다 는 것입니다.