Lecture 단락전류

단락전류

영구 단락 (지속 단락 전류)

전압을 유기하고 있는 발전기를 돌연 단락하면 그 순간에 매우 큰 전류가 흐르지만 시간이 지남에 따라 차차 감소해서 일정한 값이 된다. (전기자 반작용이 나타날 때까지 시간이 걸린다.)

전기자 단자를 미리 단락해 놓고 돌발적으로 단락이 생간 순간의 여자전류와 같은 여자전류를 흘려준 경우에 흐르는 전류가 단락전류이다.

평형 단락

불평형 단락

대칭 좌표법에 의한 3상 기본식

$E_a, E_b, E_c$ : A,B,C각 상의 무부하 유기기전력

$v_a, v_b, v_c$: A,B,C 각 상의 전류 $I_a,I_b,I_c$ 에 의한 전압 강하

$V_a, V_b, V_c$ : A,B,C 각 상의 단자전압

정상 전류가 흐르는 경우: 각 상의 전압 강하 $I_1Z_1, a^2I_1Z_1, aI_1Z_1$

역상 전류가 흐르는 경우: 각 상의 전압 강하 $I_2Z_2, aI_2Z_2, a^2I_2Z_2$

영상 전류가 흐르는 경우: 각 상의 전압 강하 $I_0Z_0, I_0Z_0, I_0Z_0$

불평형전류 $I_a, I_b, I_c$가 흐르는 경우의 전압강하

무부하 유기 기전력은 평형을 유지한다.

$$\tag{1} E_a, E_b = a^2 E_a , E_c = a E_a$$

전류에 의한 전압 강하는 식(2)와 같다.

$$\tag{2} \begin{matrix} v_a &= &I_0Z_0 &+ &I_1Z_1 &+ &I_2Z_2\\ v_b &= &I_0Z_0 &+ &a^2I_1Z_1 &+ &aI_2Z_2\\ v_c &= &I_0Z_0 &+ &aI_1Z_1 &+ &a^2I_2Z_2\\ \end{matrix}$$

$$\begin{bmatrix} v_a \\ v_b \\ v_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&a^2&a\\1&a&a^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_0Z_0\\I_1Z_1\\I_2Z_2\end{bmatrix}= A\begin{bmatrix} I_0Z_0\\I_1Z_1\\I_2Z_2\end{bmatrix}$$

유기기전력 E와 단자전압 V와의 관계는 식(3)과 같다.

$$\tag{3} \begin{matrix} V_a &= E_a-v_a\\ V_b &= E_b-v_b \\V_c &= E_c-v_c \end{matrix}$$

단자 전압에 대한 정상, 역상, 영상 전압은 식(4) ~ (6)와 같다.

$$\tag{4} \begin{matrix} V_a &= &V_0 &+ &V_1 &+ &V_2\\ V_b &= &V_0 &+ &a^2V_1 &+ &aV_2\\ V_c &= &V_0 &+ &aV_1 &+ &a^2V_2\\ \end{matrix}$$

$$\tag{5} \begin{bmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&a^2&a\\1&a&a^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_0\\V_1\\V_2\end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} V_0\\V_1\\V_2\end{bmatrix}$$

$$\tag{6} \begin{aligned} \begin{bmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} &= \dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} 1&1&1\\1&a&a^2\\1&a^2&a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_a\\V_b\\V_c\end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatrix} E_a - v_a\\E_b-v_b\\E_c-v_c \end{bmatrix} \\ &= A^{-1} \begin{bmatrix} E_a \\E_b\\E_c \end{bmatrix} - A^{-1} \begin{bmatrix} v_a\\v_b\\v_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E_0 \\E_1\\E_2 \end{bmatrix} - A^{-1} A \begin{bmatrix} I_0 Z_0\\I_1Z_1\\I_2Z_2 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

발전기의 유기 기전력은 평형이므로 영상과 역상 전압은 0이 된다. $E_0 , E_2 = 0$

그러므로, 3상 교류기의 정상, 역상, 영상의 기본식은 식(7)과 같다.

$$\tag{7} \begin{bmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -I_0Z_0 \\E_1-I_1Z_1\\-I_2Z_2 \end{bmatrix}$$

불평형 전류에 대한 정상, 역상, 영상 전류는 식(8)과 같이 계산된다.

$$\begin{matrix} I_a &= &I_0 &+ &I_1 &+ &I_2\\ I_b &= &I_0 &+ &a^2I_1 &+ &aI_2\\ I_c &= &I_0 &+ &aI_1 &+ &a^2I_2\\ \end{matrix}$$

$$\begin{bmatrix} I_a \\ I_b \\ I_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&a^2&a\\1&a&a^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_0\\I_1\\I_2\end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} I_0\\I_1\\I_2\end{bmatrix}$$

$$\tag{8} \begin{bmatrix} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} = \dfrac{1}{3} \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&a&a^2\\1&a^2&a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_a\\I_b\\I_c\end{bmatrix}$$

예) 다음과 같은 불평형 전류가 흐르고 있다. 정상, 역상, 영상 전류를 구하여라.

$$I_A = 2 \angle 15^\circ \\ I_B = 4 \angle 90^\circ \\ I_C = 6 \angle 230^\circ$$

답)

$$\begin{bmatrix} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} = \dfrac{1}{3} \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&a&a^2\\1&a^2&a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \angle 15^\circ \\ 4 \angle 90^\circ \\6 \angle 230^\circ\end{bmatrix} \\ \dfrac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 \angle 15^\circ + 4 \angle 90^\circ+ 6 \angle 230^\circ\\2 \angle 15^\circ + 1 \angle 120^\circ \cdot4 \angle 90^\circ+ 1 \angle 240^\circ \cdot 6 \angle 230^\circ\\2 \angle 15^\circ +1 \angle 240^\circ \cdot4 \angle 90^\circ+1 \angle 120^\circ \cdot 6 \angle 230^\circ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6422 \angle -177.66^\circ \\ 1.8293 \angle 130.78^\circ \\ 3.8611 \angle -12.58^\circ\end{bmatrix}$$