Lecture 단락전류 2

2선간 단락

위 그림과 같이 2선간 단락이 일어났을때의 단자 전압과 선전류를 구한다.

조건 (3)으로부터 식(1)을 얻는다.

$$\tag{1} V_b = V_c \Rightarrow V_0 + a^2 V_1 + a V_2 = V_0 + a V_1 + a^2 V_2 \Rightarrow (a^2 - a) V_1 = (a^2 - a)V_2 \\ \Rightarrow V_1 = V_2$$

정상, 역상, 영상 전류 변환식과 조건 (1)과 (2)로부터 식(2)의 결과를 얻었다.

$$I_a = 0, I_b = -I_c$$

$$\begin{bmatrix} I_0 \\ I_1 \\ I_2 \end{bmatrix} = \dfrac{1}{3} \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&a&a^2 \\ 1&a^2&a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\I \\-I \end{bmatrix} = \dfrac{1}{3} \begin{bmatrix} 0\\(a-a^2)I \\(a^2-a)I \end{bmatrix}$$

$$\tag{2} I_0 = 0, I_1 = -I_2$$

3상 교류기 기본식, 식(1)과 식(2)로부터 식(3)과 식(4)를 얻는다.

$$\begin{bmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ E_1 - I_1Z_1 \\ -I_2Z_2 \end{bmatrix}$$

$$E_1 - I_1Z_1 = -I_2Z_2$$

$$I_1 = \dfrac{E_1}{Z_1+Z_2} \qquad I_2 = - \dfrac{E_1}{Z_1+Z_2}$$

$$V_1 = V_2 = E_1 \dfrac{Z_2}{Z_1+Z_2}$$

$$\tag{3} \begin{bmatrix} V_a \\ V_b \\ V_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&a^2&a \\ 1&a&a^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ -\dfrac{Z_2}{Z_1+Z_2}E_1 \\ \dfrac{Z_2}{Z_1+Z_2}E_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{2Z_2}{Z_1+Z_2}E_1 \\ -\dfrac{Z_1}{Z_1+Z_2}E_1 \\ -\dfrac{Z_2}{Z_1+Z_2}E_1 \end{bmatrix}$$

$$\tag{4} \begin{bmatrix} I_a \\ I_b \\ I_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&a^2&a \\ 1&a&a^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ \dfrac{E_1}{Z_1+Z_2} \\-\dfrac{E_1}{Z_1+Z_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ -j\dfrac{\sqrt3 E_1}{Z_1+Z_2} \\ j\dfrac{\sqrt3E_1}{Z_1+Z_2} \end{bmatrix}$$

1상 중성점 사이의 단락

위의 그림과 같이 1상 전압이 중성점사이에 단락이 일어났을때의 단자 전압과 선전류를 구한다.

조건 (1)로부터 식(1)과 (2)를 구할 수 있다.

$$\tag{1} I_0 + a^2 I_1 + a I_2 = I_0 + aI_1 + a^2 I_2\\ \\ (a^2 - a) I_1 = (a^2 - a) I_2 \\ \\I_1 = I_2$$

$$\tag{2} I_0 + (a^2 + a) I_1 = 0 \Rightarrow I_0 = I_1 = I_2$$

조건 (2)로부터 식(3)을 구한다.

$$\tag{3} V_a = V_0 + V_1 + V_2 = -I_0 Z_0 + E_1 - I_1Z_1 - I_2 Z_2 = 0 \\ E_1 = I_0 Z_0 + I_1 Z_1 + I_2 Z_2$$

식(2)와 (3)으로부터 식(4)를 얻는다.

$$\tag{4} I_0 = I_1 = I_2 = \dfrac{E_1}{Z_0+Z_1+Z_2}$$

$$I_a = I_0 + I_1+I_2 = 3I_0 = \dfrac{3E_1}{Z_0+Z_1+Z_2}$$

2상 중성점 사이의 단락 (2선 접지)

위의 그림과 같이 2상 전압과 중성점 사이에 단락이 일어났을때의 단자 전압과 선전류를 구한다.

조건 (1)로부터 식(1)을 얻는다.

$$\tag{1} V_0 + a^2 V_1 + a V_2 = V_0 + a V_1 + a^2 V_2 = 0 \\ (a^2 - a) V_1 = (a^2 - a) V_2 \\ V_0 = V_1 = V_2$$

조건 (2)로부터 식(2)를 얻는다.

$$\tag{2} I_a = I_0 + I_1 + I_2 = 0 \\ I_0 = I_1 = I_2$$

식(1)과 (2)를 3상 동기기 기본식에 대입하면 식(4)를 얻는다.

$$\tag{4} \begin{bmatrix} V_0 \\ V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -I_0Z_0 \\ E_1 - I_1Z_1 \\ -I_2Z_2 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \begin{cases} -I_0Z_0 = E_1 - I_1Z_1 \\ -I_2Z_0 = E_1 - I_1Z_1\end{cases} \\ \Rightarrow \begin{cases} I_0 = \dfrac{I_1Z_1-E_1}{Z_0} \\ I_2 = \dfrac{I_1Z_1-E_1}{Z_2} \end{cases}\\ \Rightarrow \dfrac{I_1Z_1-E_1}{Z_0}+I_1+\dfrac{I_1Z_1-E_1}{Z_2} = 0 \\ I_1 = \dfrac{E_1(Z_0+Z_2)}{Z_1(Z_0+Z_2)+Z_0Z_2} \\ I_0 = \dfrac{-E_1Z_2}{Z_1(Z_0+Z_2)+Z_0Z_2} \\ I_2 = \dfrac{-E_1Z_0}{Z_1(Z_0+Z_2)+Z_0Z_2}$$

$$V_0 = V_1 = V_2 \Rightarrow V_0 = -I_0Z_0 = \dfrac{Z_0Z_2E_1}{Z_1(Z_0+Z_2)+Z_0Z_2}$$

$$I_b = I_0+a^2I_1+aI_2 = \dfrac{(a^2-a)Z_0 + (a^2-1)Z_2}{Z_1(Z_0+Z_2)+Z_0Z_2}E_1$$

$$I_c = I_0+aI_1+a^2I_2 = \dfrac{(a^2-a)Z_0 + (a-1)Z_2}{Z_1(Z_0+Z_2)+Z_0Z_2}E_1$$

$$V_a = V_0+V_1+V_2 =3V_0 = \dfrac{3Z_0 Z_2 E_1}{Z_1(Z_0+Z_2)+Z_0Z_2}$$

3상 단락

위의 그림과 같이 3상 단락이 일어났을때의 선전류를 구한다.

조건(1)과 3상 동기기 기본식으로부터 식(1)을 얻는다.

$$\tag{1} I_1 = \dfrac{E_a}{Z_1} \quad I_a = \dfrac{E_a}{Z_1} \quad I_b = a^2\dfrac{E_a}{Z_1} \quad I_c = a\dfrac{E_a}{Z_1}$$

$$I_2 = I_0 = 0$$