Example 상당 해석의 예

그림과 같은 회로에서 부하 $\mathbf{Z}_ {L} = j X_L$에 걸리는 전압과 커패시터 $\mathbf{Z}_{C} = -j X_C$에 흐르는 전류를 구하라.

풀이

먼저 다음 식을 이용하여 $\Delta$ 회로를 등가의 $Y$로 변환한다.

$$\mathbf{Z}_ {Y}= {\dfrac { \mathbf{Z}_ C}{3}}= - j\dfrac{X_{C}}{3}$$

이를 위의 회로에 적용하면 다음과 같은 회로로 변환할 수 있다.

위 회로의 상당 등가 회로는 다음과 같다.

부하 $\mathbf{Z}_ {L}$에 걸리는 전압

부하 $\mathbf{Z}_ {L}$에 걸리는 전압은 아래 그림에서 $\mathbf{V}_ {a'n'}$이고 이를 구하기 위해 다음과 같이 위의 회로에 전압 분배 법칙을 적용한다. 아래 식에서 $\mathbf{Z}_ {L ||Y}$는 $\mathbf{Z}_ {L}$과 $\mathbf{Z}_ {Y}$의 합성 임피던스를 의미한다.

$$\mathbf{V}_ {a'n'} = \dfrac{ \mathbf{Z}_ {L ||Y}}{j X + \mathbf{Z}_ {L ||Y}} \mathbf{V}_ {an}$$

여기서 $\mathbf{Z}_ {L ||Y}$는 다음과 같다

$$\begin{align*} \mathbf{Z}_ {L ||Y} &= \mathbf{Z}_ {L}|| \mathbf{Z}_ Y \\[1.5ex] &= \Big(jX_L \Big)||\left(-j\dfrac{X_{C}}{3}\right) \\[3ex] &= \frac{ \Big(jX_L \Big) \cdot \left(-j\dfrac{X_{C}}{3}\right)}{ jX_L -j\dfrac{X_{C}}{3} } \\ &= \frac{X_L X_C}{3 j \left(X_L - \dfrac{X_{C}}{3}\right)}\end{align*}$$

이 값을 위 식에 대입하면 부하 $\mathbf{V}_ {a'n'}$을 구할 수 있다.

커패시터 $X_{C}$에 흐르는 전류

커패시터 $X_{C}$에 흐르는 전류 $\mathbf{I}_ {a'b'}$ 를 구하려면 상당 등가회로에 나타나지 않으므로, 원회로로 돌아가서 구하여야 한다. 먼저 커패시터 양단의 전압을 구해야 한다.

$$\mathbf{V}_ {a'b'}= \mathbf{V}_ {a'n'}- \mathbf{V}_ {b'n'}=\sqrt{3}\,e^{j\frac{\pi}{6}}\mathbf{V}_ {a'n'}$$

커패시터에 흐르는 전류는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\mathbf{I}_ {a'b'}= {\dfrac{ \mathbf{V}_ {a'b'}}{\mathbf{Z}_ {C}}}= - {\dfrac{\mathbf{V}_ {a'b'}}{j X_{C}}}$$