전압과 전류의 실효치

전압의 실효치

교류에서는 실효치(Root-Mean-Square, RMS)를 다음과 같이 정의합니다. 예를 들어 전압의 실효치는 다음과 같습니다.

$\tag{1} | \mathbf{V} | =\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T v^{2}(\tau)\,d\tau}$

교류 정현파 전압은 다음과 같은 식으로 나타내어 집니다.

$\tag{2} v(t) = V_{\max} \cos(wt +\theta_{V})$

식 $(2)$ 를 식 $(1)$ 에 대입하면 다음과 같습니다.

$\tag{3} | \mathbf{V} | =\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T V_{\max}^2 \cos^{2}(w\tau +\theta_{V})\,d\tau}$

식 $(3)$ 에 삼각함수의 다음과 같은 공식을 적용할 수 있습니다.

$\tag{4} \cos^{2}\theta =\dfrac{1}{2}\Big( 1 +\cos 2\theta \Big)$

식 $(4)$ 를 식 $(3)$ 에 적용하면

$\tag{5} | \mathbf{V} | =\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T \frac{V_{\max}^2}{2} \Big[ 1+ \cos 2(w\tau +\theta_{V})\Big]\,d\tau }$

식 $(5)$ 에 식 주파수 $2w$ 의 부분은 2주기 동안의 적분이므로 다음 식과 같이 $0$ 이 됩니다.

$\tag{6} \frac{1}{T}\int_0^T \cos 2(w\tau +\theta_{V})\,d\tau = 0$

그러면 식 $(5$ )는 상수만 남게 되어 식 $(7)$ 과 같이 유도됩니다.

$\tag{7} \color{red} | \mathbf{V} | =\dfrac{V_{\max}}{\sqrt{2}}$

식 $(7)$ 은 전압의 실효치라고 합니다. 실효치는 정현파 최대 진폭의 $1 /\sqrt{2}$ 배 임을 알 수 있습니다.

전류의 경우도 전압의 경우와 동일한 관계가 적용됨을 보일 수 있습니다. 교류 전류의 실효치(Root-Mean-Square, RMS)도 전압과 동일하게 다음과 같이 정의합니다.

$\tag{8} | \mathbf{I} | =\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_0^T i^{2}(\tau)\,d\tau}$

교류 정현파 전압은 다음과 같은 식으로 나타내어 집니다.

$\tag{9} i(t) = I_{\max} \cos(wt +\theta_{I})$

전압의 실효치를 구한 과정과 동일한 과정을 거치면 전류의 실효치도 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$\tag{10} \color{red} | \mathbf{I} | =\dfrac{I_{\max}}{\sqrt{2}}$