강의노트 3상 전원의 변환

이제는 전원의 변환에 대하여 고려하여 봅니다. 다음과 같은 그림의 두 전원 연결이 같은 결과를 가져오기 위해서는 다음을 고려합니다.

아래 그림은 각 상전압과 선전압의 관계를 페이서도로 나타내었습니다.

위 페이서도에서 알 수 있듯이 다음 관계를 만족합니다.

$$\begin{align*} \mathbf{V}_ {a b}=&\, \mathbf{V}_ {a n}- \mathbf{V}_ {b n}\\ \mathbf{V}_ {b c}=&\, \mathbf{V}_ {b n}- \mathbf{V}_ {c n}\\ \mathbf{V}_ {c a}=&\, \mathbf{V}_ {c n}- \mathbf{V}_ {a n} \end{align*}$$

정 상순서이면, 각상의 상 전압은 다음과 같은 관계를 가집니다.

$$\begin{align*} \mathbf{V}_ {b n}=&\, \mathbf{V}_ {a n}e^{-j 2\pi /3} \\ \mathbf{V}_ {c n}=&\, \mathbf{V}_ {a n}e^{\,j 2\pi /3 } \end{align*}$$

선간 전압은 다음과 같이 상전압으로 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{align*} \mathbf{V}_ {a b} &= \mathbf{V}_ {an} - \mathbf{V}_ {bn} \\[1ex] &= \mathbf{V}_ {an} - \mathbf{V}_ {an}e^{-j 2\pi /3} \\[1ex] &= \left(1 - e^{-j 2\pi /3}\right) \mathbf{V}_ {a n} \\[1ex] &= \sqrt{3}e^{j\pi /6} \mathbf{V}_ {a n} \end{align*}$$

위 식을 정리하면 다음과 같습니다.

$$\mathbf{V}_ {a b} = \sqrt{3}e^{j\pi /6} \mathbf{V}_ {a n}$$

또한, 다음 관계도 얻을 수 있습니다.

$$\mathbf{V}_ {a n}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}e^{-j\pi /6} \mathbf{V}_ {a b}$$

위 관계를 페이서도로 나타내면 다음과 같습니다.

원점을 기준으로 다시 그리면 다음과 같습니다.

같은 방법으로 각 상에 대하여 반복하면 다음과 같은 페이서도를 구할 수 있습니다.

이를 원점을 기준으로 다시 그리면 다음과 같은 페이서도를 구항 수 있습니다.

이로서 다음과 같은 관계를 구할 수 있습니다.

$$\color{red} \mathsf{\small 선간 \,전압의 \; 크기는 \; 상 전압의 \; \sqrt{3}배\,, \;위상은 \; \frac{\pi}{6}(30^\circ) \, 앞섬}$$